1966年に結成。翌67年モスクワ音楽院のホールでデビュー。当初はヴァイオリン奏者のアンドレイ・シシュロフの名を採ってシシュロフ弦楽四重奏団と名乗る。1967年、ソ連建国50周年記念コンクールで優勝、1970年にはミュンヘン国際コンクールで第3位、1973年にはブダペストのレオ・ワイナー国際コンクールで優勝。1979年、第2ヴァイオリンがセルゲイ・ピシュチュギンに交代するのに伴い、ショスタコーヴィチ弦楽四重奏団と改名。ヴィオラはアレクサンドル・ガルコフスキー、チェロはアレクサンドル・コルチャギン。